KURAMLAR

Matematiksel analiz

Hesaplamanın esas olduğu matematiğin en önemli kolu. Limit kavramı üzerine kurulmuştur. Eğri, yüzey ve fizik problemlerini bünyesine alarak gelişti. Bu tür konular, özel veya farklı değer kümeleriyle meşgul olan cebir ve aritmetiğin dışındaki problemlerdir. Bununla beraber, sonsuz kümelerin limit değerlerini kural haline getirme işlemlerini ihtiva ederler. Analizin temel kavramı bir sonsuz dizinin limitidir. Pratikte bir fonksiyonun limiti, özellikle türev, integral ve diferansiyel denklemlerin çözümü şeklindeki problemlerde görülür. Modern matematiğin tesirli bir sahası olan analiz, matematik kuvvetlerin düşüncesi üzerine kurulmuştur. Ana konularından biri, diferansiyel ve integral hesaptır. Gerçel sayı sistemlerinin en iyi kullanıldığı sonsuz dizi ve seriler, analizin tafsilatlı çalışma formüllerini ihtiva eder. Fonksiyonlar teorisi, fonksiyonların grafiklerinin dışındaki özelliklerini yorumlamak suretiyle özel bir şekilde kurulmuştur. Diferansiyel ve integral denklemler, tabiattaki pek çok fizik kanunlarının ifadeleridir. Değişimler hesabı, maksimum ve minimum problemlerinin çözümünün ileri konularıdır. Diferansiyel geometri, hesaplamanın geometriye olan yaygın bir uygulamasıdır.

Gerçel analiz ya da bilinen diğer ismiyle reel analiz

Gerçel sayılar kümesi ile uğraşan bir matematiksel analiz dalıdır. Özelde, gerçel sayıların yakınsaklığını ve gerçel sayıların dizilerinin limitlerini, gerçel sayıların hesabını, sürekliliğini, pürüzsüzlüğünü ve gerçel değerli fonksiyonların ilişkin özelliklerini de içerecek şekilde gerçel fonksiyon ve dizilerin analitik özellikleriyle uğraşır.

Kapsamı

Gerçel analiz, analizin diziler ve dizilerin limitleri, süreklilik, türev alma, integral alma ve fonksiyon dizileri gibi kavramlarıyla uğraşan bir dalıdır. Bununla birlikte gerçel analizin kapsamı gerçel sayılarla sınırlıdır. Gerçel analiz, karmaşık sayıların hemen hemen aynı özelliklerini çalışan karmaşık analize oldukça yakındır. Karmaşık analizde türevi, tekrar eden türevlilik, kuvvet serisi şeklinde ifade edilebilirlik ve Cauchy integral formülünü sağlamak gibi özelliklere sahip holomorfik fonksiyonlar yoluyla tanımlamak doğaldır. Bununla birlikte, gerçel analizde, daha geniş bir uygulama alanına sahip ancak holomorfik fonksiyonların bazı güçlü özelliklerinden mahrum olan türevlenebilir, pürüzsüz veya harmonik fonksiyonları ele almak daha doğaldır. Cebirin temel teoremi gibi bazı sonuçlar da karmaşık sayılar cinsinden ifade edildiklerinde daha basit bir hale bürünürler. Diğer taraftan, gerçel sayıların kendilerinin de bazı önemli analitik özellikleri vardır. Tamamen sıralıdırlar, ve en küçük üst sınır özelliğine sahiptirler. Bu iki özellik gerçel analizde Monoton yakınsaklık teoremi, Ara değer teoremi ve Ortalama değer teoremi gibi birçok önemli özelliğe ön ayak olurlar. Bununla birlikte; gerçel analizdeki genellikle gerçel sayılar için ifade edilen sonuçlar matematiğin başka alanlarında da kullanılabilirler - karmaşık dizilerin gerçel kısmını ve sanal kısmını ele almak veya operatör dizilerinin nokta değerlendirimi gibi. Tersine, diğer alanlardaki teknikler de gerçel analizde sık sık kullanılır - gerçel integrallerin kalıntı hesabı ile bulunması gibi. Anahtar kavramlar

Gerçel analizin temeli gerçel sayıların rasyonel sayılardan inşasıdır ki genellikle bu da Dedekind kesimleriyle veya Cauchy dizilerinin tamlamasıyla yapılır. Gerçel analizdeki anahtar kavramlar gerçel diziler ve limitleri, süreklilik, türev ve integraldir. Gerçel analiz ayrıca, karmaşık analiz, fonksiyonel analiz ve harmonik analiz gibi diğer analiz alanlarına başlangıç noktası olarak da kullanılabilir. Topolojiyi geliştirmek için ve uygulamalı matematik gibi diğer alanlarda bir araç olarak da kullanılabilir. Önemli sonuçlar, Bolzano-Weierstrass teoremi, Heine-Borel teoremi, ara değer teoremi, ortalama değer teoremi, hesabın temel teoremi ve monoton yakınsaklık teoremidir.

Karmaşık analiz( kompleks analiz)

karmaşık değişkenli fonksiyonları araştıran bir matematik dalıdır. Geleneksel olarak karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisi olarak da atfedilir. Matematiğin sayılar teorisi, uygulamalı matematik gibi birçok alanında ve fizikte kullanılır. Karmaşık analiz bilhassa, genel olarak holomorfik fonksiyonlar ve meromorfik fonksiyonlar diye iki ayrı sınıfa ayrılan karmaşık değişkenli analitik fonksiyonlarla ilgilidir. Herhangi bir analitik fonksiyonunun gerçel ve sanal kısmının Laplace denklemini sağlamak zorunda olması sayesinde karmaşık analiz iki-boyutlu fizik problemlerine geniş bir şekilde uygulanabilir.

Karmaşık analiz kökleri 19. yüzyıla ve hatta karmaşık sayıların kullanımına bağlı olarak biraz daha öncesine uzanan klasik bir matematik dalıdır. Karmaşık sayıları ilk kullanan 16. yüzyılda kuadratik ve kübik denklemleri çözerken Cardano olmuştur. 18. yüzyılda karmaşık sayıları içeren fonksiyonları bulan ise Euler olmuştur. Karmaşık sayıları içeren teknikler arttıkça, gerçel değerli fonksiyonlar kuramındaki çoğu problemin karmaşık sayılar kullanılarak daha kolay bir şekilde çözüldüğü gözlemlenmiştir. Ancak, yine de karmaşık sayılar 19. yüzyılın ortasına kadar istenen ünü yakalayamamış ve genel bir uzlaşım alanı olmamıştır. Örneğin, Descartes denklemlerin karmaşık köklerini reddetmiş ve bunlara "sanal (imajiner)" terimini uygun görmüştür. Euler de karmaşık sayıların "sadece hayalde var olduğu" kanısındaydı ve denklemlerin karmaşık köklerinin denklemin aslında hiçbir kökü olmadığını göstermekte yararlı olduğunu düşünmüştü. Karmaşık sayıların genel kabulü ve bu kabul ile karmaşık analizin doğması aslında büyük ölçekte Gauss'un karmaşık sayıları geometrik bir şekilde temsil edip geliştirmesiyle başlamıştır. Gauss'un çalışmalarının ardından karmaşık analiz matematikte yeni gözde bir alan olarak doğmuş ve zamanın üretken matematikçileri olan Cauchy, Weierstrass ve Riemann'ın da katkılarıyla birçok alanla bağlantılı bir matematik disiplini haline gelmiştir. Ancak, her ne kadar Gauss'un çalışmaları karmaşık analizi yeni bir alan haline getirmiş olsa da, karmaşık sayıların ilk tam ve matematiksel kesinlik içindeki ifadesi Gauss'un çağdaşı Hamilton tarafından verilmiştir. Geleneksel olarak karmaşık analizin, bilhassa açıkorur gönderimler teorisinin, fizikte birçok uygulaması mevcuttur. Karmaşık analiz ayrıca analitik sayılar teorisinde de kullanılmaktadır. Modern zamanda, karmaşık dinamiklerin ortaya çıkmasıyla ve holomorfik fonksiyonların yinelemesi yardımıyla üretilen fraktal resimleri (ki en popüleri de Mandelbrot kümesidir) ile tekrar popüler olmuştur. Karmaşık analizin bugünkü önemli uygulamalarından biri açıkorur değişmez kuantum alan teorisi olan sicim teorisidir. Ayrıca birçok mühendislikte, özellikle de kuvvet mühendisliğinde, karmaşık analizin kullanımı ve uygulaması mevcuttur.

Önemli sonuçlar Karmaşık analizdeki sonuçlar birkaç gruba ayrılabilir. Her grubun sonucu birikimli bir şekilde kendi grubundaki ilişkin sonuçlardan faydalanan önemli sonuçlar içerse de; yine de bu her grubun birbiriyle belli temel sonuçlar vasıtasıyla bağlantısı vardır ve bazı önemli sonuçlar da bu ana grupları temel alan sonuçlardan oluşmaktadır. İntegral temsilleri ile ilgili sonuçlar Karmaşık analizdeki önemli merkezi araçlardan biri de eğrisel integraldir. Kapalı bir yolun sınırladığı alanın içindeki her yerde holomorfik olan bir fonksiyonun bu kapalı yol üzerindeki integrali sıfırdır. Bu ifade Cauchy integral teoremi olarak da bilinir. Holomorfik bir fonksiyonun bir daire alanı (disk) içinde aldığı değerler bu disk üzerinde belli bir eğri (yol) integrali vasıtasıyla hesaplanabilir. Bu ifade de Cauchy integral formülü olarak bilinir. Seri temsilleri ile ilgili sonuçlar

Eğrisel integraller karmaşık düzlemde çoğu zaman karışık gerçel integralleri çözmek ve belirlemek amacıyla kullanılır ve burada da kalıntı (rezidü) teorisi diğer teoriler arasında en kullanışlı olanıdır (Kontür integral metodları'na bakınız). Bir fonksiyon belli bir noktada bir kutup veya tekillik sahibi ise, yani, bu noktada fonksiyonun değerleri birden patlıyorsa veya sonlu bir değer almıyorsa, o zaman bu fonksiyonun bu noktadaki rezidüsü (kalıntısı) bu kutupta hesaplanabilir ve bu rezidüler fonskiyonla alakalı eğrisel integralleri hesaplamak için kullanılabilir. Rezidü teoremi'nin güçlü olan yanı da budur. Holomorfik fonksiyonların esas tekilliklerin civarındaki davranışları ise Weierstrass-Casorati teoremi vasıtasıyla tanımlanır. Sadece kutuplara sahip olup ancak esas tekilliğe sahip olmayan fonksiyonlara meromorfik fonksiyon denir. Laurent serileri, Taylor serileri'ne benzer olup, fonksiyonların tekillik civarındaki davranışlarını öğrenmek için kullanılırlar. Tüm karmaşık düzlemde holomorfik olan sınırlı bir fonksiyon sabit olmalıdır. Bu ifade Liouville teoremi olarak bilinir. Bu teorem karmaşık sayılar cisminin cebirsel kapalı olduğunu ifade eden Cebirin temel teoremi'nin doğal ve kısa bir kanıtına ulaşmak için kullanılabilir. Riemann yüzeyleri ile ilgili sonuçlar

Holomorfik fonksiyonların bir diğer önemli özelliği ise basit bağlantılı bir bölgede holomorfik olan bir fonksiyonun değerlerinin tamamiyle daha küçük alt bölgelerdeki değerleriyle belirlenebilmesidir. Daha büyük bölgedeki fonksiyon daha küçük bölgedeki fonksiyonun değerlerinin analitik devamı olarak adlandırılır. Bu, ilk başta sadece sınırlı bir bölgede yakınsayan sonsuz toplamlar olarak tanımlanan Riemann zeta fonksiyonu gibi bazı fonksiyonların tanımlarının hemen hemen tüm karmaşık düzleme genişletilmesine izin verir. Bazen, doğal logaritma durumunda olduğu gibi, holomorfik bir fonksiyonu karmaşık düzlemdeki basit olmayan bağlantılı bir bölgeye analitik olarak devam ettirmek imkânsızdır; ancak yine de yakın bir şekilde ilişkin olan ve Riemann yüzeyi adı verilen bir yüzeye devam ettirmek imkânı da vardır. Yüksek boyutlardaki sonuçlar

Bunların hepsi tek değişkenli karmaşık analizde geçerlidir. Ayrıca, kuvvet serileri gibi analitik özelliklerin aynı kaldığı; ancak açıkorurluk gibi çoğu geometri özelliğinin geçerli olmadığı birden fazla karmaşık boyutta karmaşık analizin çalışıldığı zengin bir çok değişkenli karmaşık analiz dalı da mevcuttur. Tek boyutlu karmaşık analizde belki de en önemli sonuç olan ve karmaşık düzlemdeki belli bölgelerde açıkorurluk ilişkisini ifade eden Riemann tasvir teoremi daha yüksek boyutlarda geçerli değildir.

Karmaşık analizde Runge yaklaşım teoremi olarak da bilinen Runge teoremi 1885 yılında Alman matematikçi Carl Runge tarafından kanıtlanmış bir sonuçtur.

Teorem, Runge'ye ithafen isimlendirilmiştir ve şunu ifade etmektedir: K karmaşık sayılar kümesi C 'nin tıkız bir altkümesiyse, A kümesinin içinde C\K 'nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinin her birinden en az bir karmaşık sayı bulunuyorsa ve f fonksiyonu K üzerinde holomorfikse, o zaman kutupları A içinde olan rasyonel fonksiyonlardan oluşan bir (rn) dizisi vardır öyle ki bu (rn) dizisi f 'ye K üzerinde düzgün bir şekilde yakınsar. A kümesinin herhangi bir noktası, bu (rn) dizisini oluşturan rasyonel fonksiyonların kutup noktası olmak zorunda değildir. Burada bilinen ise şudur: (rn) dizisindeki rasyonel fonksiyonların kutupları varsa, o zaman bunlar A 'nın içindedir. Bu teoremi güçlü kılan şeylerden birisi de teoremdeki A kümesinin istenilen bir şekilde seçilebilmesidir. Başka bir deyişle, C\K 'nin sınırlı bağlantılı bileşenlerinden istenilen şekilde karmaşık sayılar seçilebilir. O zaman, teorem sadece bu seçilen sayılarda kutupları olan bir rasyonel fonksiyon dizisinin varlığını garanti eder. C\K 'nin bağlantılı küme olduğu özel durumda, teoremdeki A kümesi açık bir şekilde boş olacaktır. Kutup noktaları olmayan rasyonel fonksiyonlar aslında polinomlardan başka birşey olmadığı için, teoremin şu sonucu elde edilecektir: Eğer K, C 'nin tıkız bir altkümesiyse , C\K bağlantılı bir kümeyse ve f fonksiyonu K üzerinde holomorfikse, o zaman f 'ye K üzerinde düzgün bir şekilde yakınsayan bir polinom dizisi (pn) vardır. Bu teoremin biraz daha genelleştirilmiş hali ise A kümesi Riemann küresinin, yani C∪{∞} 'un, altkümesiyse ve ayrıca A 'nın (şimdi ∞'u da kapsayan) K kümesinin sınırsız bağlantılı bileşeninle kesişimi varsa elde edilir. Yani, üstte verilen formülasyonda rasyonel fonksiyonların sonsuzda kutupları var olabilirken, daha genel durumdaki formülasyonda, kutup K 'nin sınırsız bağlantılı bileşenindeki herhangi bir yerde seçilebilir.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Mergelyan teoremi

Ermeni matematikçi Sergei Nikitoviç Mergelyan tarafından 1951'de kanıtlanmış ve Mergelyan'a ithafen isimlendirilmiş bir matematiksel sonuçtur. Mergelyan teoremi şunu ifade etmektedir: K karmaşık düzlem C 'nin tıkız bir altkümesi olsun öyle ki C\K de bağlantılı olsun. Bu halde, bir f: KC fonksiyonu K üzerinde sürekliyse ve f 'nin K 'nin iç bölgesindeki sınırlaması olan fint(K) holomorfikse; f, K üzerinde polinomlarla düzgün yakınsanabilir. (Burada int(K) ifadesi K kümesinin içini (iç bölge) temsil etmektedir.) Mergelyan teoremi, Stone-Weierstrass teoreminin ve Runge teoreminin en son gelişmiş ve genelleştirilmiş halidir. Bir klasik olan polinomlarla yaklaşma problemine tam bir çözüm vermektedir. C\K bağlantılı olmadığı zaman, başlangıçtaki yaklaşım problemindeki polinomlar yerini rasyonel fonksiyonlara bırakırlar. Bu daha ileriki rasyonel yaklaşım probleminin çözümünün önemli bir adımı da ayrıca S.N. Mergelyan tarafından 1952'de ileri sürülmüştür. Rasyonel yaklaşımdaki daha derin sonuçlar özellikle A.G. Vituşkin'e aittir. Mergelyan teoreminin tarihi 1951 iken, Weierstrass ve Runge teoremleri 1885'te ileri sürülmüştür. Aradaki bu uzun zaman farkı aslında çok da sürpriz değildir çünkü Mergelyan teoremi Mergelyan tarafından yaratılmış yeni güçlü metodları kullanmaktadır. Weierstrass ve Runge'den sonra özellikle Walsh, Keldysh, Lavrentiev gibi matematikçileri de içeren birçok matematikçi de aynı problem üzerinde çalışıyordu. Mergelyan tarafından ileri sürülen kanıtın metodu yapısaldır ve sonucun bilinen tek yapısal kanıtıdır.

Yerel Teori Holomorfik fonksiyon Tersholomorfik fonksiyon Cauchy-Riemann denklemleri Açıkorur gönderim Kuvvet serisi Yakınsaklık yarıçapı Laurent serisi Meromorfik fonksiyon Tam fonksiyon Kutup (karmaşık analiz) Sıfır (karmaşık analiz) Kalıntı (karmaşık analiz) İzole edilmiş tekillik Kaldırılabilir tekillik Esaslı tekillik Dallanma noktası Ana dallanma Weierstrass-Casorati teoremi Landau sabitleri Holomorfik fonksiyonlar analitiktir Schwarz türevi Analitik kapasite Disk cebiri Büyüme Bieberbach hipotezi Borel-Carathéodory teoremi Hadamard üç-çember teoremi Hardy uzayı Hardy teoremi Progresif fonksiyon Corona teoremi Maksimum modülüs teoremi Nevanlinna teorisi Picard teoremi Paley-Wiener teoremi Holomorfik fonksiyonların değer dağılımı teorisi Kontür integralleri Eğrisel integral Cauchy integral teoremi Cauchy integral formülü Kalıntı teoremi Liouville teoremi (karmaşık analiz) Kontür integrali örnekleri Cebirin temel teoremi Basit bağlantılı Dolanım sayısı Rouché teoremi Bromwich integrali Morera teoremi Mellin dönüşümü Kramers–Kronig bağıntısı Özel Fonksiyonlar Üstel fonksiyon Beta fonksiyonu Gama fonksiyonu Riemann zeta fonksiyonu Riemann hipotezi Genelleştirilmiş Riemann hipotezi Elliptik fonksiyon Yarı-periyot oranı Jacobi elliptik fonksiyonları Weierstrass elliptik fonksiyonları Teta fonksiyonu Elliptik modüler fonksiyon J-fonksiyonu Modüler fonksiyon Modüler form Riemann yüzeyleri Analitik devam Riemann küresi Riemann yüzeyi Riemann tasvir teoremi Carathéodory teoremi (açıkorur gönderim) Riemann-Roch teoremi Diğerleri Terstürev (karmaşık analiz) Bôcher teoremi Cayley dönüşümü Karmaşık Türevsel Denklemler Harmonik eşlenik En dik iniş metodu Karmaşık kuadratik gönderimlerin periyodik noktaları Pick matrisi Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi Çok değişkenli karmaşık sayılar Analitikleştirme hilesi Biholomorfi Cartan A ve B teoremleri Kuzen problemleri Takozun kenarı teoremi Tarih Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Augustin Louis Cauchy Karl Weierstrass Bernhard Riemann Jacques Hadamard Kiyoshi Oka Ralph Kronig